Две задачки

[chyyr]

И, раз уж я не лингвист, а математик, две задачки. (По функ.ан'у, раз уж я с кафедры диф.ур'ов)

1.Есть метрическое пространство M. В нем всякое сжимающее отображение имеет неподвижную точку. Верно ли, что M полно?

2.Есть банахово пространство H и сопряженное ему H*. Они изоморфны. Верно ли, что H - гильбертово?

Comments

[musatych.livejournal.com]

А про это можно в ru_math спрашивать.

[chyyr.livejournal.com]

Про ru_math я уже знаю.
А это... Просто решил погрузить знакомых. Авось кто загрузится...
(Задачки из жизни возникли.)

[0serg.livejournal.com]

По-моему, ответы на оба вопроса - "да" :). Где-то когда-то что-то похожее решал :)

[chyyr.livejournal.com]

Очевидны обратные утверждения. А вот эти... Тут не все так просто ;)

Привет

[jura05.livejournal.com]

1. Это неверно. Сначала заметим, что сжимающее отображение M->M продолжается до сжимающего M'->M', где M' -- пополнение M. В качестве M возьмём точку А, и счётное число дуг I_1,...,I_k,.. Дуги I_k замкнуты, одним концом находятся на расстоянии 1/k от A, другим на расстоянии 1/k от B, причём точка B не принадлежит M (а, тем самым, принадлежит M'). Пусть f:M->M сжим., продолжим его до f:M'->M'. У f есть неподв. точка, проблема в том, что ею может быть B. Если это так, то f(A)\in I_k. Т.к. d(I_k,I_j)>eps при k\ne j, то f(I_N)\subset I_k (за счёт точки A) при больших N. Но тогда d(f(I_N),B)>eps и B не может быть неподвижной точкой. Значит, есть неподвижная точка из M.
Интересная задачка.

2. Контрпример довольно простой: l_1(2), то есть R^2 с нормой ||(x1,x2)||=|x_1|+|x_2|. Тогда сопряженное пространство l_\infty(2) с нормой ||(x1,x2)||=max(|x1|,|x2|). В обоих случаях единичный шар -- квадрат, они отличаются лишь поворотом+гомотетией. Интересно было бы поискать другие такие примеры.

Re: Привет

[chyyr.livejournal.com]

В пункте два мне точно такой же контрпример придумался. Другие пытался найти, но как-то не преуспел.

Re: Привет

[jura05.livejournal.com]

Ну в принципе можно получать новые примеры с помощью евклидовой суммы -- это когда ||(x,y)||^2=||x||^2+||y||^2, x\in X, y\in Y.

Re: Привет

[chyyr.livejournal.com]

Но это не будет ПРИНЦИПИАЛЬНО другой пример