Истина

[chyyr]

А вот вопрос у меня, старого склеротика, к гражданам логикам. Тупой и простой.

Вот, предположим у нас имеется формула P(x) со свободной переменной x.

Что означает фраза "верно P(x)"?
(Именно так, без кванторов)

UPD Сходимся на мысли, что все-таки "верно P(x)" означает "общезначимо P(x)"


UPD2 Тогда переходим к сути. Вторую половину переадресую к широкой преподавательской общественности:

На вопрос "Верно ли P(x)?" ответ "Неверно" считается правильным, а ответ "Не всегда верно" считается неточным, и за него снижается оценка.

Спрашивается: справедливо ли это?
Точнее: существует ли в школе договоренность, что на такие вопросы следует отвечать только "верно/неверно", и никак иначе?


Ибо если я не совсем торможу, то "неверно" (в значении "не общезначимо") и "не всегда верно" (в любом разумном значении) эквивалентны.

Первое есть $\not (\forall x P(x))$

Второе либо
$\not (\forall x P(x))$ <=> "не (всегда истинно)"
либо
$\exists x not(\forall y P(y))$ <=> $\not (\forall x (\forall y P(y))$<=>"не всегда (общезначимо)"

Очевидно, в последней формуле свободное вхождение икса несущественно.

Единственная возможная заминка - если одна и та же буква обозначает как свободную, так и связанную переменную. (То есть если писать не $\exists x not (\forall y P(y))$, а $\exists x not \forall x P(x))$

UPD3 Но даже эта формула вполне законна и по определению эквивалентна первой.

Подвопрос к логикам: Напомните, конструкции типа $\exists x not \forall x P(x)$ запрещены аксиоматически или как-то все-таки трактуются?

Comments

[0serg.livejournal.com]

Надо полагать, P(x) можно преобразовать к тождественной истине :)
Ну, или в зависимости от контекста, "верно для любого x" (если x может быть из некоторого множества), или "верно для данного x" (если есть указания о том, что это за x)
ИМХО :)

[arymanuz.livejournal.com]

Вообще лучше контекст привести, а то мало ли.

Но попробуем без него...
Вообще говоря, слово "верно" особого не слишком формально (в частности поэтому хотелось контекста). Сразу возникает три гипотезы о том, что оно может значить: "выводимо" ("доказуемо"), "истинно" и "общезначимо".

В первом случае ("доказуемо") должно подразумеваться, что оно выводимо из каких-то гипотез (аксиом, предположений, утверждений...). Часто оказывается, что в этих посылках тоже есть свободная переменная x. Тогда понятно: из какого-то A(x) выводимо P(x) (можно заметить, что по теореме дедукции и правилу обобщения будет также выводимо, что "для любого x из A(x) следует P(x)"; в частности, если A не зависит от x, то это то же самое, что "из A следует, что для любого x P(x)"; и если множество посылок пусто, то просто "для любого x P(x)").

Во втором случае ("истинно") должно подразумеваться, что дана некоторая модель и значение для переменной x (ну или не дано, но подразумевается, что какое-то оно есть), и фраза тогда будет означать, что формула истинна в данной модели при данном значении свободной переменной.

В третьем случае ("общезначимо") должно подразумеваться только то, что дана модель. Тогда получается, что формула истинна в данной модели при любом значении свободной переменной.

PS: Случай "выполнима" (т.е. существует такое x, что P(x) истинна в данной модели) мне кажется, совсем неестественно было бы называть словом "верно", поэтому рассамтривать не стал.

PPS: Интуитивно кажется, что "верно" ближе всего к "истинно", хотя кто ж их знает-то там вообще.

[chyyr.livejournal.com]

Доказуемость отбрасываем, так как контекст примитивный:

формулировка задачи "Верно ли, что P(x)?", где P(x) - какое-то утверждение про объект x (в данном конкретном случае "Если Q_1(x), то Q_2(x)")

Предполагается, что всякий школьник будет понимать это утверждение как "общезначимо". Соответственно, тому, кто понимает это иначе и отвечает "не всегда верно" вместо "неверно", снижается балл (незначительно).

Меня этот подход несколько смущает...

Мало того, что я не помню, оговаривается ли отдельно в школьной программе такое понимание слова "верно", я еще и не помню, что говорит мат.логика...

Пожалуй, в такой формулировке ("если..., то...") подходит как раз общезначимость.
Но a priori это не очевидно.

Но даже и с таким определением я не понимаю, почему формально ответ "не всегда верно" неправильный.

Суди сам: "не всегда верно P(x)" можно истолковать только двумя способами:
1.(естественный) "\exists x NOT P(x)"
2.(исходя из "общизначимого" понимания термина "верно") "\exists x NOT(\forall x P(x))"
Причем, очевидно, что эти формулы эквивалентны. (Во второй формуле свободное вхождения икса роли не играет)

Разве что кому-то не нравится, что связанные и свободные переменные обзываются одной буквой...

[chyyr.livejournal.com]

Не "\exists x NOT(\forall x P(x))", а разумеется "\exists x NOT(\forall y P(y))"


Кстати, а конструкция типа "\exists x NOT(\forall x P(x))" запрещена аксиоматически? Не напомнишь?

[arymanuz.livejournal.com]

А это собственно кто?
Какие-то конкретные школьники, которых вы сами учили логике? Или какие-то абстрактные школьники отовсюду?
Если первое, и при том вы их учили, что "верно" = "общезначимо", то в общем-то можно теоретически придраться к ним в таком аспекте, что задача подразумевала ответ "да" или "нет", а в ответе сказано, конечно, утверждение истинное, но не являющееся ответом на задачу (хотя из него и следовал очевидным образом этот ответ).
Если второе, то придираться в общем-то не к чему. Так как с одной стороны, логика в стандартных школах, если и есть, то заканчивается логикой высказываний (до логики предикатов не доходит заведомо), а во вторых по-умолчанию слово верно скорее всё-таки можно понять, как "истинно", а тогда получается задача с параметром. А раз задача с параметром не начинается со слов "при каких значениях x...", то, видимо, ответ "при некоторых значениях x истинно, а при некоторых ложно" (так бы я интерпретировал "не всегда верно") стоит считать исчерпывающим.

[chyyr.livejournal.com]

Ну, да скорее так.

Тогда следующий шаг: см UPD про "неверно" и "не всегда верно"

[arymanuz.livejournal.com]

> Кстати, а конструкция типа "\exists x NOT(\forall x P(x))" запрещена аксиоматически? Не напомнишь?

Разрешена и эквивалентна первой конструкции.
Вообще, формально её надо понимать так: существует элемент носителя интерпретации a, такой, что если его подставить вместо всех свободных вхождений переменной x в формулу "NOT(\forall x P(x))", то получится истинная формула (случай вырожденный, поскольку свободных вхождений там нет, но дело это не меняет).

[chyyr.livejournal.com]

Абстрактные школьники отовсюду. Седьмой-десятый класс, абитуриенты малого мехмата.

Вот мне тоже кажется, что "не всегда верно" - это вполне достаточный ответ. Но официальная часть общественности предполагает, что за "неверно" надо ставить "+", а за "не всегда верно" "+."

Разница незначительная, поэтому всерьез копья ломать не хочется (дескать, ставьте только чистый плюс - и никак иначе). Но разобраться, законное это требование или нет - интересно.



Неплохо, если elepha5 свое мнение выскажет, и совсем отлично, если вдруг объявится Мастер Игры, он за критерии отвечает. (А то писать на мыло ему не хочется) Только вот я его в ЖиЖе еще не встречал.

[chyyr.livejournal.com]

Спасибо. А то я сначала решил, что разрешена - по типу вполне законного $\int_0^t f(t)dt$, потом ни с того ни с сего засомневался.

[arymanuz.livejournal.com]

Ну да, как раз в этом интеграле одно вхождение t свободно, а два других связаны. Так что этот интеграл вполне однозначен.

А кстати, вообще эти обозначения в интегралах не всегда однозначны, хотя те, кто ими занимается, с этим и не соглашаются, :-). Пример: "\int_1^3 sin(ax) d(x/a)". Здесь, конечно, все говорят, что интегрируется в смысле кого-либо–Стилтьеса по x от 1 до 3, а a — это параметр. Но на вопрос: "Почему не наоборот?" — вразумительного ответа я так и не получили, ;-).

[arymanuz.livejournal.com]

Честно говоря, мне это напоминает скорее бюрократию, а не логику: партия сказала, что нужно отвечать "неверно", а учитель сельской школы номер 13 не подчинился и школьникам своим приказ не передал, так что мы за это его школьникам на \epsilon бал снизим.

Тем более, что никакого педагогического эффекта сие действие не принесёт. Даже, если будет разбор и показ работ, я сильно сомневаюсь, что вы сможете им как-то внятно объяснить, за что там снизили...

Разве что вы планируете на первых занятиях начать с логики предикатов, и закончить магической фразой: "а слово "верно" на малом мехмате будет означать "общезначимо"!", :-).

[arymanuz.livejournal.com]

А кто такой Мастер Игры?

[chyyr.livejournal.com]

Класс!

[chyyr.livejournal.com]

А, видно он на рыбу стал ходить, когда ты с нее ушел. Вне рыбного клуба он Дима Дагаев.

[chyyr.livejournal.com]

Не будет показа работ, в том-то и дело.

И логика предикатов им преподаваться не будет :(


А что до бюрократии - так и мне этот критерий не ахти нравится, почему я этот пост и затеял.

Ладно, спрошу-таки самого Мастера, благо мыло имеется...

[chyyr.livejournal.com]

Видать, есть в алфавите множество допустимых букв для связанных переменных :)

В реальных же формулах вообще много нестандартного: чего стоят одни омонимы типа i и i, одно из которых i^2=-1, а другое i\in N.

[arymanuz.livejournal.com]

Это да. Наверное, надо одно i сделать жирным. Или курсивным. Или готическим, :-).
Ну в целом, главное, конечно, чтобы понятно было.

[musatych.livejournal.com]

Как это Мастера в ЖЖ не встречал? Угадай с трёх раз его юзернейм! Если не угадаешь, поищи среди читателей Рыбклуба.

[chyyr.livejournal.com]

Я слепой. Я там два раза смотрел и ни разу не увидел.

Признаю. Видел и в ЖЖ. Но во времена незапамятные, когда по рыбклубу его еще не знал. Посему ник не запомнился. А вот юзерпик - да, запомнился.

[jura05.livejournal.com]

Всё это очень странно.
"Не всегда верно" -- абсолютно правильный ответ, на мой взгляд.
Может быть, ты уточнишь контекст?

[maitre-de-jeu.livejournal.com]

Привет!
Давай я сначала приведу текст задачи для тех, кто с ней не знаком, чтобы разговор был предметным:

4.В выпуклых четырехугольниках ABCD и PQRS выполняются равенства AB = PQ , BC = QR , CD = RS , DA = SP. Кроме того, известно, что наименьшая сторона четырехугольника ABCD равна наибольшей стороне четырехугольника PQRS. Верно ли, что четырехугольники ABCD и PQRS равны (две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением)?

Я не являюсь специалистом в исчислении высказываний/предикатов, однако, на мой взгляд, вопрос здесь звучит не "Истинно ли P(x)", а "Выводимо ли из аксиоматики планиметрии и данных задачи равенство четырехугольников ABCD и PQRS?". И тогда ответ четкий: нет.
Формулировка вопроса предполагает имеено бинарный выбор.

Конечно же, мы проверяем этой задачей понимание определения равных фигур, а не знание курса матлогики. История появления этого критерия такова. На протяжении всего курса обучения на заочном отделении школьники несколько раз встречаются с похожими вопросами. И там мы им объясняем, приводя разные примеры, что ответ на такой вопрос может быть либо "Да", либо "Нет". Поэтому с педагогическим эффектом школьники столкнутся в процессе обучения, а не на вступительной работе. В процессе обучения мы снижаем балл за нечеткий ответ на вопросы такого типа до "+-". На вступительной работе я как раз попытался этим критерием призвать не не снижать балл слишком сильно. Возможно, действительно стоило ставить чистый плюс, но разницы с "+." все равно нет.

Практика проверки работ показала, что эта задача действительно была не самой удачной для включения во вступительный вариант. Учтем эту ошибку в будущем. Все остальные задачи, вроде бы, таких двусмысленностей не содержали.

[maitre-de-jeu.livejournal.com]

Привел задачу ниже.

[maitre-de-jeu.livejournal.com]

Привел внизу полный текст задачи. Буду признателен, если Вы теперь проясните, об общезначимости или выводимости там идет речь.

[jura05.livejournal.com]

Согласен, что "+." (но не меньше!) в данном случае оправдан, раз вы делали акцент на подобных вопросах.
Иногда после "верно ли что ..." дописывают в скобках "докажите, или приведите контрпример". Но это мне тоже не нравится: вдруг человек докажет обратное неконструктивно!

[arymanuz.livejournal.com]

Собственно, как я уже писал формулировка не совсем однозначна из-за слова "верно".

Если его понимать в смысле выводимости, то ответ "нет" подразумевал бы от школьника доказательство невыводимости, для чего надо было бы по меньшей мере иметь определение вывода, и теорем о корректности и полноте исчисления предикатов. Так что этот вариант отбросим сразу.

Можно было бы понять его как общезначимость, т.е. прочитать условие как-то так: "... Верно ли, что любые четырехугольники ABCD и PQRS, удовлетворяющие предыдущим условиям, равны?". Видимо, именно эта формулировка подразумевалась автором, и на неё действительно можно ответить только "да" или "нет", но она по меньшей мере неочевидна.

На мой взгляд, естественное понимание вопроса заключается в опускании слова "верно", считая, что оно не несёт никакой смысловой нагрузки (если бы тут стояло "истинно ли", то было бы однозначно именно так):
"Равны ли четырехугольники ABCD и PQRS?" — думаю, так поняли условие многие школьники, и я это не могу назвать ошибкой.
Теперь становится всё понятно: ответ "да" подразумевает доказательство того, что они равны, ответ "нет" подразумевает доказательство того, что они не равны.
Правильный ответ здесь был бы "недостаточно данных для ответа на вопрос", что можно подтвердить, приведя два примера, удовлетворяющих условию: когда они равны и когда они не равны. Это и выражалось фразой "не всегда верно".

Почему слово "верно" должно менять смысл вопроса не понятно.

PS: Да, я знаю, что в традициях мат. классов на такую формулировку нужно отвечать "нет" — сам учился в СУНЦ'е. Но эта традиция никак не следует ни из математической логики, ни из общечеловеческой. Скорее, это что-то вроде договорённости сокращать таким образом громоздкую формулировку, типа "любые ли четырехугольники ABCD и PQRS, удовлетворяющие вышеописанным условиям, равны?" (кстати, не плохо было бы подобные договорённости и вводить именно как договорённости, а не как самоочевидные истины, чтобы не вводить школьников в ступор).

[arymanuz.livejournal.com]

А вообще, конечно, стоит руководствоваться тем, приведён ли там контрпример или нет, и насколько обосновано наличие этого контрпримера, а не тем, какими словами в ответе выражено существование этого контрпримера. Не вижу смысла придираться здесь к словам.