Истина

[chyyr]

А вот вопрос у меня, старого склеротика, к гражданам логикам. Тупой и простой.

Вот, предположим у нас имеется формула P(x) со свободной переменной x.

Что означает фраза "верно P(x)"?
(Именно так, без кванторов)

UPD Сходимся на мысли, что все-таки "верно P(x)" означает "общезначимо P(x)"


UPD2 Тогда переходим к сути. Вторую половину переадресую к широкой преподавательской общественности:

На вопрос "Верно ли P(x)?" ответ "Неверно" считается правильным, а ответ "Не всегда верно" считается неточным, и за него снижается оценка.

Спрашивается: справедливо ли это?
Точнее: существует ли в школе договоренность, что на такие вопросы следует отвечать только "верно/неверно", и никак иначе?


Ибо если я не совсем торможу, то "неверно" (в значении "не общезначимо") и "не всегда верно" (в любом разумном значении) эквивалентны.

Первое есть $\not (\forall x P(x))$

Второе либо
$\not (\forall x P(x))$ <=> "не (всегда истинно)"
либо
$\exists x not(\forall y P(y))$ <=> $\not (\forall x (\forall y P(y))$<=>"не всегда (общезначимо)"

Очевидно, в последней формуле свободное вхождение икса несущественно.

Единственная возможная заминка - если одна и та же буква обозначает как свободную, так и связанную переменную. (То есть если писать не $\exists x not (\forall y P(y))$, а $\exists x not \forall x P(x))$

UPD3 Но даже эта формула вполне законна и по определению эквивалентна первой.

Подвопрос к логикам: Напомните, конструкции типа $\exists x not \forall x P(x)$ запрещены аксиоматически или как-то все-таки трактуются?

Comments

[maitre-de-jeu.livejournal.com]

Привел внизу полный текст задачи. Буду признателен, если Вы теперь проясните, об общезначимости или выводимости там идет речь.

[arymanuz.livejournal.com]

Собственно, как я уже писал формулировка не совсем однозначна из-за слова "верно".

Если его понимать в смысле выводимости, то ответ "нет" подразумевал бы от школьника доказательство невыводимости, для чего надо было бы по меньшей мере иметь определение вывода, и теорем о корректности и полноте исчисления предикатов. Так что этот вариант отбросим сразу.

Можно было бы понять его как общезначимость, т.е. прочитать условие как-то так: "... Верно ли, что любые четырехугольники ABCD и PQRS, удовлетворяющие предыдущим условиям, равны?". Видимо, именно эта формулировка подразумевалась автором, и на неё действительно можно ответить только "да" или "нет", но она по меньшей мере неочевидна.

На мой взгляд, естественное понимание вопроса заключается в опускании слова "верно", считая, что оно не несёт никакой смысловой нагрузки (если бы тут стояло "истинно ли", то было бы однозначно именно так):
"Равны ли четырехугольники ABCD и PQRS?" — думаю, так поняли условие многие школьники, и я это не могу назвать ошибкой.
Теперь становится всё понятно: ответ "да" подразумевает доказательство того, что они равны, ответ "нет" подразумевает доказательство того, что они не равны.
Правильный ответ здесь был бы "недостаточно данных для ответа на вопрос", что можно подтвердить, приведя два примера, удовлетворяющих условию: когда они равны и когда они не равны. Это и выражалось фразой "не всегда верно".

Почему слово "верно" должно менять смысл вопроса не понятно.

PS: Да, я знаю, что в традициях мат. классов на такую формулировку нужно отвечать "нет" — сам учился в СУНЦ'е. Но эта традиция никак не следует ни из математической логики, ни из общечеловеческой. Скорее, это что-то вроде договорённости сокращать таким образом громоздкую формулировку, типа "любые ли четырехугольники ABCD и PQRS, удовлетворяющие вышеописанным условиям, равны?" (кстати, не плохо было бы подобные договорённости и вводить именно как договорённости, а не как самоочевидные истины, чтобы не вводить школьников в ступор).

[arymanuz.livejournal.com]

А вообще, конечно, стоит руководствоваться тем, приведён ли там контрпример или нет, и насколько обосновано наличие этого контрпримера, а не тем, какими словами в ответе выражено существование этого контрпримера. Не вижу смысла придираться здесь к словам.