Истина

[chyyr]

А вот вопрос у меня, старого склеротика, к гражданам логикам. Тупой и простой.

Вот, предположим у нас имеется формула P(x) со свободной переменной x.

Что означает фраза "верно P(x)"?
(Именно так, без кванторов)

UPD Сходимся на мысли, что все-таки "верно P(x)" означает "общезначимо P(x)"


UPD2 Тогда переходим к сути. Вторую половину переадресую к широкой преподавательской общественности:

На вопрос "Верно ли P(x)?" ответ "Неверно" считается правильным, а ответ "Не всегда верно" считается неточным, и за него снижается оценка.

Спрашивается: справедливо ли это?
Точнее: существует ли в школе договоренность, что на такие вопросы следует отвечать только "верно/неверно", и никак иначе?


Ибо если я не совсем торможу, то "неверно" (в значении "не общезначимо") и "не всегда верно" (в любом разумном значении) эквивалентны.

Первое есть $\not (\forall x P(x))$

Второе либо
$\not (\forall x P(x))$ <=> "не (всегда истинно)"
либо
$\exists x not(\forall y P(y))$ <=> $\not (\forall x (\forall y P(y))$<=>"не всегда (общезначимо)"

Очевидно, в последней формуле свободное вхождение икса несущественно.

Единственная возможная заминка - если одна и та же буква обозначает как свободную, так и связанную переменную. (То есть если писать не $\exists x not (\forall y P(y))$, а $\exists x not \forall x P(x))$

UPD3 Но даже эта формула вполне законна и по определению эквивалентна первой.

Подвопрос к логикам: Напомните, конструкции типа $\exists x not \forall x P(x)$ запрещены аксиоматически или как-то все-таки трактуются?

Comments

[chyyr.livejournal.com]

Спасибо. А то я сначала решил, что разрешена - по типу вполне законного $\int_0^t f(t)dt$, потом ни с того ни с сего засомневался.

[arymanuz.livejournal.com]

Ну да, как раз в этом интеграле одно вхождение t свободно, а два других связаны. Так что этот интеграл вполне однозначен.

А кстати, вообще эти обозначения в интегралах не всегда однозначны, хотя те, кто ими занимается, с этим и не соглашаются, :-). Пример: "\int_1^3 sin(ax) d(x/a)". Здесь, конечно, все говорят, что интегрируется в смысле кого-либо–Стилтьеса по x от 1 до 3, а a — это параметр. Но на вопрос: "Почему не наоборот?" — вразумительного ответа я так и не получили, ;-).

[chyyr.livejournal.com]

Класс!

[chyyr.livejournal.com]

Видать, есть в алфавите множество допустимых букв для связанных переменных :)

В реальных же формулах вообще много нестандартного: чего стоят одни омонимы типа i и i, одно из которых i^2=-1, а другое i\in N.

[arymanuz.livejournal.com]

Это да. Наверное, надо одно i сделать жирным. Или курсивным. Или готическим, :-).
Ну в целом, главное, конечно, чтобы понятно было.