Истина

[chyyr]

А вот вопрос у меня, старого склеротика, к гражданам логикам. Тупой и простой.

Вот, предположим у нас имеется формула P(x) со свободной переменной x.

Что означает фраза "верно P(x)"?
(Именно так, без кванторов)

UPD Сходимся на мысли, что все-таки "верно P(x)" означает "общезначимо P(x)"


UPD2 Тогда переходим к сути. Вторую половину переадресую к широкой преподавательской общественности:

На вопрос "Верно ли P(x)?" ответ "Неверно" считается правильным, а ответ "Не всегда верно" считается неточным, и за него снижается оценка.

Спрашивается: справедливо ли это?
Точнее: существует ли в школе договоренность, что на такие вопросы следует отвечать только "верно/неверно", и никак иначе?


Ибо если я не совсем торможу, то "неверно" (в значении "не общезначимо") и "не всегда верно" (в любом разумном значении) эквивалентны.

Первое есть $\not (\forall x P(x))$

Второе либо
$\not (\forall x P(x))$ <=> "не (всегда истинно)"
либо
$\exists x not(\forall y P(y))$ <=> $\not (\forall x (\forall y P(y))$<=>"не всегда (общезначимо)"

Очевидно, в последней формуле свободное вхождение икса несущественно.

Единственная возможная заминка - если одна и та же буква обозначает как свободную, так и связанную переменную. (То есть если писать не $\exists x not (\forall y P(y))$, а $\exists x not \forall x P(x))$

UPD3 Но даже эта формула вполне законна и по определению эквивалентна первой.

Подвопрос к логикам: Напомните, конструкции типа $\exists x not \forall x P(x)$ запрещены аксиоматически или как-то все-таки трактуются?

Comments

[maitre-de-jeu.livejournal.com]

Привет!
Давай я сначала приведу текст задачи для тех, кто с ней не знаком, чтобы разговор был предметным:

4.В выпуклых четырехугольниках ABCD и PQRS выполняются равенства AB = PQ , BC = QR , CD = RS , DA = SP. Кроме того, известно, что наименьшая сторона четырехугольника ABCD равна наибольшей стороне четырехугольника PQRS. Верно ли, что четырехугольники ABCD и PQRS равны (две фигуры называются равными, если их можно совместить наложением)?

Я не являюсь специалистом в исчислении высказываний/предикатов, однако, на мой взгляд, вопрос здесь звучит не "Истинно ли P(x)", а "Выводимо ли из аксиоматики планиметрии и данных задачи равенство четырехугольников ABCD и PQRS?". И тогда ответ четкий: нет.
Формулировка вопроса предполагает имеено бинарный выбор.

Конечно же, мы проверяем этой задачей понимание определения равных фигур, а не знание курса матлогики. История появления этого критерия такова. На протяжении всего курса обучения на заочном отделении школьники несколько раз встречаются с похожими вопросами. И там мы им объясняем, приводя разные примеры, что ответ на такой вопрос может быть либо "Да", либо "Нет". Поэтому с педагогическим эффектом школьники столкнутся в процессе обучения, а не на вступительной работе. В процессе обучения мы снижаем балл за нечеткий ответ на вопросы такого типа до "+-". На вступительной работе я как раз попытался этим критерием призвать не не снижать балл слишком сильно. Возможно, действительно стоило ставить чистый плюс, но разницы с "+." все равно нет.

Практика проверки работ показала, что эта задача действительно была не самой удачной для включения во вступительный вариант. Учтем эту ошибку в будущем. Все остальные задачи, вроде бы, таких двусмысленностей не содержали.

[jura05.livejournal.com]

Согласен, что "+." (но не меньше!) в данном случае оправдан, раз вы делали акцент на подобных вопросах.
Иногда после "верно ли что ..." дописывают в скобках "докажите, или приведите контрпример". Но это мне тоже не нравится: вдруг человек докажет обратное неконструктивно!