Гёделеподобное

Подумалось, что с точки зрения античных математиков наше решение задачи о квадратуре круга - жульничество чистой воды. Из разряда "Как движется ток? Волей Божьей".

Вводим, понимаешь ли, чёртову уйму воображаемых сущностей, плетём о них чёрт знает что, придумываем им разные свойства, всякие отношения-взаимоотношения - а потом ловким движением рук сдёргиваем скатёрку и выдаем сакраментальное "e в степени iπ равно минус единице, i и -1 алгебраические, значит π трансцендентно".

Нетрудно угадать, как отреагировал бы на такое доказательство эллин, который даже корень из двух не вполне за число признаёт... Он бы может это доказательство и понял - но доказательством счесть отказался б. Так, игра ума.

И стало мне любопытно, а можно ли при помощи циркуля и линейки доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима?
Да и вообще - что хоть какая-нибудь задача на построение неразрешима?

(Разумеется. понятие "доказательства с помощью циркуля и линейки" надо как-то формализовать... но здесь уже - простор для выбора :)