Гёделеподобное
Sep. 16th, 2009 10:03 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
chyyrПодумалось, что с точки зрения античных математиков наше решение задачи о квадратуре круга - жульничество чистой воды. Из разряда "Как движется ток? Волей Божьей".
Вводим, понимаешь ли, чёртову уйму воображаемых сущностей, плетём о них чёрт знает что, придумываем им разные свойства, всякие отношения-взаимоотношения - а потом ловким движением рук сдёргиваем скатёрку и выдаем сакраментальное "e в степени iπ равно минус единице, i и -1 алгебраические, значит π трансцендентно".
Нетрудно угадать, как отреагировал бы на такое доказательство эллин, который даже корень из двух не вполне за число признаёт... Он бы может это доказательство и понял - но доказательством счесть отказался б. Так, игра ума.
И стало мне любопытно, а можно ли при помощи циркуля и линейки доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима?
Да и вообще - что хоть какая-нибудь задача на построение неразрешима?
(Разумеется. понятие "доказательства с помощью циркуля и линейки" надо как-то формализовать... но здесь уже - простор для выбора :)
Вводим, понимаешь ли, чёртову уйму воображаемых сущностей, плетём о них чёрт знает что, придумываем им разные свойства, всякие отношения-взаимоотношения - а потом ловким движением рук сдёргиваем скатёрку и выдаем сакраментальное "e в степени iπ равно минус единице, i и -1 алгебраические, значит π трансцендентно".
Нетрудно угадать, как отреагировал бы на такое доказательство эллин, который даже корень из двух не вполне за число признаёт... Он бы может это доказательство и понял - но доказательством счесть отказался б. Так, игра ума.
И стало мне любопытно, а можно ли при помощи циркуля и линейки доказать, что задача о квадратуре круга неразрешима?
Да и вообще - что хоть какая-нибудь задача на построение неразрешима?
(Разумеется. понятие "доказательства с помощью циркуля и линейки" надо как-то формализовать... но здесь уже - простор для выбора :)
![[identity profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/openid.png){kind=small}
no subject
Date: 2009-09-16 07:06 pm (UTC)составляют какое-нибудь стандартное доказательство?
no subject
Date: 2009-09-17 05:18 am (UTC)PS C Днём Рождения!
Всевозможных удач и успехов.
PPS Извини, вчера вечером выяснилось, что я прийти не смогу, меня в Москве не будет :(
no subject
Date: 2009-09-18 07:32 pm (UTC)Я так хотел тебя увидеть!
no subject
Date: 2009-09-19 05:32 am (UTC)no subject
Date: 2009-09-16 08:36 pm (UTC)Так, вроде, как раз признаёт (его ведь можно построить с помощью циркуля и линейки, как и квадратуру прямоугольника). Другое дело, что он возражает против того, что это число нельзя выразить как отношение натуральных... (Кстати, забавное было тогда представление о математике: противоречивую теорию можно запросто продолжить развивать, главное только противоречие засекретить, :-) .)
> Разумеется. понятие "доказательства с помощью циркуля и линейки" надо как-то формализовать... но здесь уже - простор для выбора
Как вариант, можно всё доказывать в арифметике Пеано (действительное алгебраическое число можно формализовать, например, как "корень такого-то целочисленного многочлена, лежащий на таком-то интервале с рациональными концами, на котором этот многочлен монотонен и принимает разные знаки на концах", геометрию сделать из точек с алгебраическими координатами). Интересно, можно ли в арифметике Пеано доказать, что ряд, соответствующий числу пи не сходится, ни к какому алгебраическому числу... (формализовать, вроде, можно, с виду).
> Да и вообще - что хоть какая-нибудь задача на построение неразрешима?
Доказательство невозможности построения кубического корня из двух (что равнозначно не выразимости его через натуральные числа, сложение, вычитание, умножение, деление и квадратные корни), вроде, совершенно такое алгебраическое, что наверняка даже в арифметике Пеано пройдёт. Надо бы только вспомнить, построению чего это соответствует — уже забыл, не то правильного семиугольника, не то правильного девятиугольника...
no subject
Date: 2009-09-16 08:54 pm (UTC)А, вспомнил. Ни тому, ни другому кубический корень из двух не соответствует. Но если немного обобщить: "если кубическое уравнение с целочисленными коэффициентами не имеет рациональных корней, то его корни не строятся циркулем и линейкой", — то получаем не только кубический корень из двух, но и правильный семиугольник, а также девятиугольник (из девятиугольника, кстати, следует трисекция угла). И, вроде, для этого особых сущностей, типа действительных чисел, не нужно...
...всё обходится конечнопорождёнными расширениями поля рациональных чисел...
\sqrt 2
Date: 2009-09-17 04:56 am (UTC)Я ровно об этом :)
Он признает его за реально существующую величину, но за такую странную величину, которая ни одним [человеческим] числом не выражается :)
Re: \sqrt 2
Date: 2009-09-17 07:58 pm (UTC)Если наше выражение "действительное число" переводить на древнегреческий отношением длин отрезков, то всё сойдётся.
> [человеческим] числом
Да, кстати, вроде, то, что мы называем "рациональное число", у них называлось как-то вполне честно, примерно от слова отношение (подразумевается натуральных чисел; для натурального числа было отдельное слово). Так что в правильном переводе ничего странного не получится: "длина диагонали единичного квадрата не выражается отношением натуральных", или что-то вроде того.
в арифметике Пеано
Date: 2009-09-17 05:11 am (UTC)Зато сдается мне, что если мы заставим его поверить в многочлены (a la "5 степень числа - это нечто, описывающее вполне реальные вещи: например, в 19 полисах живут по 19 человек по имени Антиох, у каждого 19 рабов, у каждого раба под надзором 19 овец, у каждой овцы 19 черных пятен на боку"), то в то, что функция, меняющая знак на отрезке, имеет на нем корень, он поверит легко. А потом опечалится, увидев, что этот корень не всегда записывается [рациональным] числом.
PS Главное, чтобы для исследования многочленов не узаконили вдруг новые инструменты построения. А то один единственный узаконенный гвоздик на веревочке (для измерения длин кривых) разом меняет всю теорию.
5-я степень числа
Date: 2009-09-17 08:05 pm (UTC)no subject
Date: 2009-09-17 08:09 pm (UTC)no subject
Date: 2009-09-16 08:38 pm (UTC)