chyyr | Комментарий к вопросу по математике

В комментариях к посту про пространство BMO

lithovore привел алгоритм который позволяет построить неполное полунормированное пространство V, обладающее требуемыми свойствами (т.е. его элементы - функции из L₀, ядро полунормы имеет конечную размерность, ||u(x)|| = ||u(x-a)|| = ||u(kx)|| при любых a и всех k≠0), такое что BMO является его собственным подпространством.

Сразу встал вопрос: а можно ли построить пример полного пространства V?

Ответа на этот вопрос я все еще не знаю (в примере

lithovore элементами пополнения будут уже не функции, а формальные ряды, вообще говоря расходящиеся), но заметил такой факт: если пространство V, обладающее требуемыми свойствами, непрерывно вкладывается в L_2,loc(R), и при этом ядро полунормы либо тривиально, либо содержит только константы, то V вкладывается в BMO.

Доказательство чисто техническое -- при помощи замены координат легко доказывается неравенство
$\inf_{c\in\mathbb{R}}\frac{\int_a^b|u(x)-c|^2dx}{|b-a|}\leqslant K\|u\|^2_V,$
где константа K не зависит от выбора u, a и b. Левая часть данного неравенства -- квадрат одной из эквивалентных норм в BMO(R).