Вопрос сугубо математический, по теории функций.

[chyyr]

Вдруг задался вопросом:

Существуют пространства измеримых функций действительного аргумента (функции, равные почти всюду, отождествляем между собой), на которых задана норма (или полунорма с ядром конечной размерности), инвариантная относительно сдвигов и растяжений в следующем смысле: если u(x) -- функция из нашего пространства, то для любых действительных чисел a и k≠0 функции u(x-a) и u(kx) также будут функциями из нашего пространства, причем

||u(x)|| = ||u(x-a)|| = ||u(kx)||.
Примерами таких пространств могут послужить пространство существенно ограниченных функций L_∞, пространство функций ограниченной вариации BV, пространство функций с ограниченной средней осцилляцией BMO.

Понятно, что список ими не исчерпывается: тем же свойством могут обладать их подпространства (например, ограниченные непрерывные функции C_b, абсолютно непрерывные функции W₁¹, функции с исчезающей средней осцилляцией VMO) и их различные интерполяции (видимо, сюда попадут соболевские пространства с дробным порядком производной W_p^1/p).

Из перечисленных пространств самое "большое" - BMO.

Так вот, не могу понять: есть ли что-то еще больше?

(Понятно, можно рассмотреть прямую сумму BMO с пространством линейных функций {cx} и положить ||u+cx||=||u||_BMO.
Размерность ядра полунормы увеличится на единицу: раньше в ядре были только константы, теперь все функции вида {cx+d}; свойство инвариантности сохранится. Но хотелось бы чего-нибудь более интересного, чтобы фактор-пространства по ядру полунормы у BMO и у нового пространства были разными.)

Comments

[xgrbml.livejournal.com]

Ну, кроме очевидной занудной поправки (элементами пространства должны быть не функции, а классы функций с точностью до совпадения п.в.) ничего сходу в голову не приходит.

А существенно, что функцию можно компоновать только со сдвигами и умножениями на константы? М.б. если разрешить, скажем, произвольные равномерно непрерывные биекции, задача станет более решаемой?

[chyyr.livejournal.com]

Да, вы правы, спасибо за замечание. Добавил в текст.

Если вместо сдвигов и растяжений брать более широкий класс биекций (например, липшицевы с липшицевыми же обратными), то там, если я нигде не ошибся, даже BMO не подходит. Стоит допустить существование достаточно хорошей неограниченной функции, и ядро полунормы оказывается бесконечномерным.

[prosto-vitjok.livejournal.com]

Может, я не уловил как-то сути, но норма ведь характеристика функции (ну или распределения) вцелом -- даже и вещи такой нету, ||u(x)||, есть ||u||. Из ваших условий слeдует, что вас интересуют пространства функций, определенных надо всем R, так что никаких заморочек с областью определения при любой человеческой замене переменных, типа y:= ax +b, а ≠ 0, не будет, и u(x) не станет уродом, если мы ее назовем u(y).

[chyyr.livejournal.com]

u(x) и u(2x) — это две разные функции (хотя и с одной областью определения).

Соответственно, когда я пишу ||u(x)||, я имею в виду норму первой из этих функций, а когда ||u(2x)|| — норму второй. Вообще говоря, они не равны: например, если u(x)=1/(1+x²), а || . || — норма в пространстве L₁, то

||u(x)||=\int_R 1/(1+x²)dx=π,
||u(2x)||=\int_R 1/(1+(2x)²)dx=π/2

(интегралы берутся по всей числовой прямой R).

[prosto-vitjok.livejournal.com]

А, понятно, суперпозиция с линейными.

[a-konst.livejournal.com]

Может быть xaxam знает ответ. Или знает, кто может знать.
Или еще zavr, только он тут редко появляется.

[lithovore.livejournal.com]

Рассмотрим функции вида e^{P(x)}, где P — многочлен чётной степени с положительным коэффициентом при старшем члене и минимальным значением 0. Тогда

1) Множество этих функций замкнуто относительно сдвигов и растяжений;

2) Эти функции линейно независимы, потому что из любых двух одна растёт бесконечно быстрее другой на плюс бесконечности;

2') Более того, никакая их нетривиальная линейная комбинация не лежит в BMO.

Поэтому на пространстве их линейных комбинаций можно построить норму, инвариантную относительно сдвигов и растяжений (например, ||\sum_{i=1}^n c_i e^{P_i(x)}||, где все P_i разные — это max(|c_i|)), после чего построить норму на прямой сумме этого пространства и BMO как, например, опять же максимум норм прямых слагаемых.

[chyyr.livejournal.com]

Вроде бы работает! Спасибо!

PS Интересно, а можно ли построить пример с полным нормированным пространством?
В этом примере, если не путаю, элементами пополнения будут уже не функции, а формальные функциональные ряды — вообще говоря, расходящиеся.

[lithovore.livejournal.com]

Да, это очень искусственная норма, так что в пополнении вроде бы будут даже ряды, расходящиеся повсюду. Не знаю, можно ли придумать что-то более естественное.