Симпатичное о компактах

[chyyr]

1. Любой метрический компакт является образом множества Кантора при некотором непрерывном отображении.

2. Любой линейно-связный компакт в линейном метрическом пространстве является образом отрезка при некотором непрерывном отображении (т.е. одним росчерком бесконечно тонкого карандаша можно заштриховать любой n-мерный куб и даже некоторые бесконечномерные множества)


PS Во второй задаче любопытно, что модуль непрерывности отображения увязан с размерностью компакта. Так, квадрат можно заштриховать кривой, которая будет непрерывна по Гёльдеру с показателем 1/2. Для куба показатель будет уже показатель 1/3 - и так далее.

Вот интересно, для произвольного компакта максимальная "гладкость" будет соответствовать какому определению дробной размерности? С ходу как-то непонятно.

Comments

[argovirgin.livejournal.com]

Компактное множество Кантора:



Зовут его так)

[chyyr.livejournal.com]

Вот он - истинный прообраз всего!