Повторяю хорошо известное.
Nov. 17th, 2013 05:00 pm![[personal profile]](https://www.dreamwidth.org/img/silk/identity/user.png){kind=small}
chyyrФантасты очень любят сверхсветовые путешествия. Это понятно: не хочется же из каждой повести делать "Возвращение со звезд", а из каждого рассказа - "Ожерелье Семли". Главный герой должен возвращаться домой на радость престарелым родителям, а не на горе престарелым правнукам.
Некоторые авторы довольствуются сверхсветовой связью (Так, Ле Гуин, а за ней Кард, облагодетельствовали своих героев ансиблем... Ле Гуин первая ансибль придумала? Или был кто-то до нее?)
Естественно, что в мир, где верна частная (специальная) теория относительности (далее - СТО), и сверхсветовые путешествия и сверхсветовую связь встроить трудно.
А именно: в мире, где верна СТО, любое сверхсветовое путешествие (сверхсветовое общение) эквивалентно путешествию в прошлое (диалогу с прошлым)
Этот факт известен, но, как я обнаружил, не общеизвестен (т.е. во многих н/ф-литературных обсуждениях обнаруживаются люди, о нем не знавшие). Посему приведу здесь доказательство этой теоремы - про запас, чтобы в случае чего было на что ссылаться :)
Напоминание первое: преобразования Лоренца.
Пусть наш мир можно представить как пространство Минковского c лоренцовой метрикой
(Это означает, что мы живем в неискривленном четырехмерном пространственно-временном континууме, причем если нечто движется со скоростью 1 в одной инерциальной системе координат, то оно движется со скоростью 1 во всех инерциальных системах координат)
Переход от одной инерциальной системы координат к другой в этом случае описывается преобразованием Лоренца.
Для простоты предположим, что начало новой системы координат движется в направлении x со скоростью v=-cth θ, и в начальный момент времени начала координат совпадали. В этом случае
Прим1.В произвольном случае мы всегда можем развернуть старую систему координат так, чтобы новая двигалась вдоль оси иксов
Прим 2. cosh, sinh, cth - это гиперболические косинус, синус и котангенс соответственно. (Напомню, что всегда cosh x>sinh x>-cosh x, а, значит, модуль гиперболического котангенса не превосходит единицы)
Прим 3. В дальнейшем мы иногда будем "забывать" про координаты y и z и писать только x и t.
Напоминание второе: пространственноподобные и времениподобные интервалы
Пусть у нас есть две точки пространства-времени: (t,x,y,z) и (T,X,Y,Z), задающие некоторый интервал. Если величина
,
называемая квадратом интервала, положительна, интервал называется времениподобным.
Если величина отрицательна, интервал пространственно подобен.
Самое для нас важное, что квадрат интервала не меняется при преобразованиях Лоренца. В частности, если интервал времениподобен в одной инерционной системе координат, он будет времениподобен в любой другой.
Следующее важное наблюдение:
Утверждение.
Двигаясь со скоростью, меньшей скорости света, можно попасть из точки (t,x,y,z) в точку (T,X,Y,Z) в том и только том случае, когда интервал времениподобен, а T>t.
Доказательство простое:
(1<=2) Если интервал времениподобен, мы можем легко предложить такой маршрут полета, который приведет нас из первой точки во вторую. Для этого зафиксируем систему отсчета, и полетим в ней по прямой со скоростью l/(T-t), где l - расстояние между точками (x,y,z) и (X,Y,Z).
(1=>2) Если мы летим относительно фиксированной системы отсчета со скоростью, меньшей скорости света, пройденное нами расстояние будет меньше T-t>0. Легко проверить, что в этом случае квадрат интервала будет положителен.
Покажем, что если T было больше t в одной инерционной системе координат, то в любой другой ИСК мы будем иметь T'>t'. (Для простоты ограничимся случаем y=Y, z=Z).
В силу времениподобия интервала, |x-X|<|t-T|. Тогда по преобразованию Лоренца
Здесь мы воспользовлись тем, что гиперболический косинус всегда больше гиперболического синуса.
Двукратное перемещение вдоль пространственно подобного интервала
Перейдем к собственно фантастической части.
Случай 1.
Пусть мы умеем делать мощный ансибль, а именно, выключатель, позволяющий по замкнуть цепь на другом конце любого пространственноподобного интервала. Покажем, что в этом случае мы можем зажечь лампочку, свет от которой дойдет до нас прежде, чем мы нажмем выключатель.
Для этого установим два мощных ансибля: один будет располагаться на кривой (t,0,0,0) - т.е. покоиться в начале координат, - другой на кривой (t,1,0,0) - т.е. покоится в световой секунде от нас.
В точке (t, -0,5,0,0) установим лампочку, активируемую вторым ансиблем.
Настроим их так:
- если первый включить в момент времени t=0, он подаст сигнал в точку (0,1,0,0)
квадрат интервала равен -1
- если второй получает сигнал в момент времени t=0, он подает сигнал в точку (-0.6, -0.5 , 0 ,0).
квадрат интервала равен 0,36-2,25=-1,89
Вспыхнет лампочка, и свет от нее дойдет до нас за 0,1 секунды до нажатия выключателя.
Случай 2
Могут возникнуть возражения: второй ансибль - уже машина времени. Он же передает сигнал в "прошлое" относительно себя (строго говоря, это не так: прошлое отделено от настоящего времениподобным интервалом, а не пространственноподобным. Но допустим...)
Рассмотрим другой случай: мы делаем обычные ансибли. Они устоены так: если в некоторой инерционной системе координат ансибль занимает положение (t,0,0,0), то, активированный в момент T, он может замкнуть цепь в любой точке с координатами (T,X,0,0).
В этом случае расположим второй ансибль следующим образом:
он движется по кривой (t,-t cthθ,0,0) - очевидно, это движение равномерно и прямолинейно.
Активируем первый ансибль в момент t=1. Он активирует второй в точке (1,-cthθ,0,0).
В соответствии с преобразованием Лоренца, для второго ансибля это будет момент t'=1/cosh θ.
Второй ансибль активирует лампочку, находящуюся в точке (t',X',0,0) в системе отсчета (2), и, значит, в точке (1-X'sinh θ, -cth θ+ X'cosh θ,0,0) в системе отсчета (1).
Квадрат интервала между (1,0,0,0) и включением лампочки равен
Возьмем X'=1 и потребуем, чтобы sinh θ было больше 1 (это возможно, так как гиперболический синус растет экспоненциально). Тогда интервал является времениподобным, причем лежит в прошлом относительно (1,0,0,0) (т.к 1-X'<1). Это гарантирует нам, что свет от лампочки дойдет до нас раньше, чем мы нажмем кнопку.
Замечание Фактически, мы доказали, что из двух ансиблей можно собрать "машину времени" даже в том случае, когда их "радиус действия" ограничен (т.е. они передают сигнал в точку x=X, удаленную от начала координат не больше, чем на 1 св.секунду.)
Слегка изменив доказательство можно показать, что при сколь угодно малом "радусе действия" из двух ансиблей и лампочки можно собрать "машину времени" - надо только достаточно разогнать второй ансибль.
Задача
Докажите самостоятельно вторую половину теоремы: если у нас есть машина времени, му умеем перемещаться со скоростью выше скорости света ;)
Задача Пусть мы умеем делать слабые ансибли. Если их неподвижно поместить в инерционной системе координат, они, будучи активированными в точке (t,0,0,0), умеют замыкать цепь на другом конце (T,X,0,0) пространственноподобного интервала. При этом, T>t.
Проверьте, что и тогда мы можем из конечного числа ансиблей собрать "машину времени".
PS Претензии, поправки и замечания приветствуются
Некоторые авторы довольствуются сверхсветовой связью (Так, Ле Гуин, а за ней Кард, облагодетельствовали своих героев ансиблем... Ле Гуин первая ансибль придумала? Или был кто-то до нее?)
Естественно, что в мир, где верна частная (специальная) теория относительности (далее - СТО), и сверхсветовые путешествия и сверхсветовую связь встроить трудно.
А именно: в мире, где верна СТО, любое сверхсветовое путешествие (сверхсветовое общение) эквивалентно путешествию в прошлое (диалогу с прошлым)
Этот факт известен, но, как я обнаружил, не общеизвестен (т.е. во многих н/ф-литературных обсуждениях обнаруживаются люди, о нем не знавшие). Посему приведу здесь доказательство этой теоремы - про запас, чтобы в случае чего было на что ссылаться :)
Напоминание первое: преобразования Лоренца.
Пусть наш мир можно представить как пространство Минковского c лоренцовой метрикой
(Это означает, что мы живем в неискривленном четырехмерном пространственно-временном континууме, причем если нечто движется со скоростью 1 в одной инерциальной системе координат, то оно движется со скоростью 1 во всех инерциальных системах координат)
Переход от одной инерциальной системы координат к другой в этом случае описывается преобразованием Лоренца.
Для простоты предположим, что начало новой системы координат движется в направлении x со скоростью v=-cth θ, и в начальный момент времени начала координат совпадали. В этом случае
Прим1.В произвольном случае мы всегда можем развернуть старую систему координат так, чтобы новая двигалась вдоль оси иксов
Прим 2. cosh, sinh, cth - это гиперболические косинус, синус и котангенс соответственно. (Напомню, что всегда cosh x>sinh x>-cosh x, а, значит, модуль гиперболического котангенса не превосходит единицы)
Прим 3. В дальнейшем мы иногда будем "забывать" про координаты y и z и писать только x и t.
Напоминание второе: пространственноподобные и времениподобные интервалы
Пусть у нас есть две точки пространства-времени: (t,x,y,z) и (T,X,Y,Z), задающие некоторый интервал. Если величина
,называемая квадратом интервала, положительна, интервал называется времениподобным.
Если величина отрицательна, интервал пространственно подобен.
Самое для нас важное, что квадрат интервала не меняется при преобразованиях Лоренца. В частности, если интервал времениподобен в одной инерционной системе координат, он будет времениподобен в любой другой.
Следующее важное наблюдение:
Утверждение.
Двигаясь со скоростью, меньшей скорости света, можно попасть из точки (t,x,y,z) в точку (T,X,Y,Z) в том и только том случае, когда интервал времениподобен, а T>t.
Доказательство простое:
(1<=2) Если интервал времениподобен, мы можем легко предложить такой маршрут полета, который приведет нас из первой точки во вторую. Для этого зафиксируем систему отсчета, и полетим в ней по прямой со скоростью l/(T-t), где l - расстояние между точками (x,y,z) и (X,Y,Z).
(1=>2) Если мы летим относительно фиксированной системы отсчета со скоростью, меньшей скорости света, пройденное нами расстояние будет меньше T-t>0. Легко проверить, что в этом случае квадрат интервала будет положителен.
Покажем, что если T было больше t в одной инерционной системе координат, то в любой другой ИСК мы будем иметь T'>t'. (Для простоты ограничимся случаем y=Y, z=Z).
В силу времениподобия интервала, |x-X|<|t-T|. Тогда по преобразованию Лоренца
Здесь мы воспользовлись тем, что гиперболический косинус всегда больше гиперболического синуса.
Двукратное перемещение вдоль пространственно подобного интервала
Перейдем к собственно фантастической части.
Случай 1.
Пусть мы умеем делать мощный ансибль, а именно, выключатель, позволяющий по замкнуть цепь на другом конце любого пространственноподобного интервала. Покажем, что в этом случае мы можем зажечь лампочку, свет от которой дойдет до нас прежде, чем мы нажмем выключатель.
Для этого установим два мощных ансибля: один будет располагаться на кривой (t,0,0,0) - т.е. покоиться в начале координат, - другой на кривой (t,1,0,0) - т.е. покоится в световой секунде от нас.
В точке (t, -0,5,0,0) установим лампочку, активируемую вторым ансиблем.
Настроим их так:
- если первый включить в момент времени t=0, он подаст сигнал в точку (0,1,0,0)
квадрат интервала равен -1
- если второй получает сигнал в момент времени t=0, он подает сигнал в точку (-0.6, -0.5 , 0 ,0).
квадрат интервала равен 0,36-2,25=-1,89
Вспыхнет лампочка, и свет от нее дойдет до нас за 0,1 секунды до нажатия выключателя.
Случай 2
Могут возникнуть возражения: второй ансибль - уже машина времени. Он же передает сигнал в "прошлое" относительно себя (строго говоря, это не так: прошлое отделено от настоящего времениподобным интервалом, а не пространственноподобным. Но допустим...)
Рассмотрим другой случай: мы делаем обычные ансибли. Они устоены так: если в некоторой инерционной системе координат ансибль занимает положение (t,0,0,0), то, активированный в момент T, он может замкнуть цепь в любой точке с координатами (T,X,0,0).
В этом случае расположим второй ансибль следующим образом:
он движется по кривой (t,-t cthθ,0,0) - очевидно, это движение равномерно и прямолинейно.
Активируем первый ансибль в момент t=1. Он активирует второй в точке (1,-cthθ,0,0).
В соответствии с преобразованием Лоренца, для второго ансибля это будет момент t'=1/cosh θ.
Второй ансибль активирует лампочку, находящуюся в точке (t',X',0,0) в системе отсчета (2), и, значит, в точке (1-X'sinh θ, -cth θ+ X'cosh θ,0,0) в системе отсчета (1).
Квадрат интервала между (1,0,0,0) и включением лампочки равен
Возьмем X'=1 и потребуем, чтобы sinh θ было больше 1 (это возможно, так как гиперболический синус растет экспоненциально). Тогда интервал является времениподобным, причем лежит в прошлом относительно (1,0,0,0) (т.к 1-X'<1). Это гарантирует нам, что свет от лампочки дойдет до нас раньше, чем мы нажмем кнопку.
Замечание Фактически, мы доказали, что из двух ансиблей можно собрать "машину времени" даже в том случае, когда их "радиус действия" ограничен (т.е. они передают сигнал в точку x=X, удаленную от начала координат не больше, чем на 1 св.секунду.)
Слегка изменив доказательство можно показать, что при сколь угодно малом "радусе действия" из двух ансиблей и лампочки можно собрать "машину времени" - надо только достаточно разогнать второй ансибль.
Задача
Докажите самостоятельно вторую половину теоремы: если у нас есть машина времени, му умеем перемещаться со скоростью выше скорости света ;)
Задача Пусть мы умеем делать слабые ансибли. Если их неподвижно поместить в инерционной системе координат, они, будучи активированными в точке (t,0,0,0), умеют замыкать цепь на другом конце (T,X,0,0) пространственноподобного интервала. При этом, T>t.
Проверьте, что и тогда мы можем из конечного числа ансиблей собрать "машину времени".
PS Претензии, поправки и замечания приветствуются
